Expected Value (EV) หรือค่าคาดหมาย คือค่าเฉลี่ยระยะยาวที่ได้จากการนำผลลัพธ์แต่ละแบบมาคูณกับความน่าจะเป็นของมัน แล้วบวกเข้าด้วยกัน
สิ่งที่มักเข้าใจผิดคือ ถ้า EV เท่ากับ 3 ไม่ได้แปลว่าครั้งถัดไปต้องได้ 3 และบางครั้งค่า EV อาจเป็นค่าที่ไม่มีทางเกิดขึ้นเป็นผลลัพธ์เดี่ยวเลยด้วยครับ
สูตร Expected Value
สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:
E(X) = Σ x · P(x)
อ่านง่าย ๆ คือ:
- ลิสต์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้
- ใส่ความน่าจะเป็นของแต่ละผล
- คูณผลลัพธ์กับความน่าจะเป็น
- รวมทุกแถว
OpenStax เรียก Expected Value ว่า long-term average เพราะเป็นค่าเฉลี่ยที่คาดเมื่อทำการทดลองซ้ำจำนวนมากภายใต้การแจกแจงเดิม
ตัวอย่างง่ายด้วยคะแนนสมมติ
สมมติเกมทดลองหนึ่งมีผลลัพธ์สุทธิสามแบบ:
| ผลลัพธ์ x | ความน่าจะเป็น P(x) | x · P(x) |
|---|---|---|
| -10 คะแนน | 0.90 | -9.0 |
| +20 คะแนน | 0.09 | +1.8 |
| +500 คะแนน | 0.01 | +5.0 |
Expected Value คือ:
-9 + 1.8 + 5 = -2.2 คะแนนต่อการทดลอง
-2.2 ไม่ได้แปลว่าทุกครั้งเสีย 2.2 คะแนน เพราะผลจริงมีเพียง -10, +20 หรือ +500 แต่ถ้าทำการทดลองภายใต้เงื่อนไขเดิมจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยต่อครั้งมีแนวโน้มเข้าใกล้ -2.2
ตัวอย่างนี้เป็นแบบจำลองเพื่อสอนสูตร ไม่ใช่ข้อมูลของสลากหรือเกมจริงใด ๆ
ทำไม EV ไม่ใช่โอกาสชนะ
Probability ตอบว่าเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดเท่าไร ส่วน Expected Value รวมทั้ง โอกาสและขนาดของผลลัพธ์
เหตุการณ์ที่เกิดบ่อยแต่มีผลลัพธ์เล็ก กับเหตุการณ์ที่เกิดน้อยแต่มีผลลัพธ์ใหญ่ จึงมีผลต่อ EV ต่างกัน
ถ้าต้องการหาจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ก่อน อ่าน Combination และโอกาสแจ็กพอต
Expected Value ไม่ได้บอกความผันผวน
สองระบบอาจมี EV เท่ากัน แต่การกระจายของผลต่างกันมาก ระบบหนึ่งอาจอยู่ใกล้ค่าเฉลี่ยบ่อย อีกระบบอาจมีผลส่วนใหญ่ต่ำและมีค่าขนาดใหญ่เกิดนาน ๆ ครั้ง
ดังนั้น EV เพียงค่าเดียวไม่เล่าว่า “เส้นทาง” ที่ผลจริงเดินไปสู่ค่าเฉลี่ยมีหน้าตาอย่างไร
กฎจำนวนมากเกี่ยวข้องอย่างไร
Law of Large Numbers ช่วยอธิบายว่าทำไมค่าเฉลี่ยจากการทดลองจำนวนมากจึงมีแนวโน้มเข้าใกล้ค่าคาดหมายภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม
แต่นั่นไม่ใช่สัญญาว่าทดลอง 100 ครั้งแล้วค่าเฉลี่ยต้องตรง EV เป๊ะ หรือถ้าช่วงแรกต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ช่วงถัดไปต้องชดเชยทันที
ใช้ EV กับสลากจริงต้องมีข้อมูลอะไร
ถ้าจะคำนวณ EV ของสลากจริง ต้องรู้มากกว่าโอกาสแจ็กพอต เช่น:
- รางวัลทุกระดับที่เกี่ยวข้อง
- ความน่าจะเป็นของแต่ละระดับ
- ต้นทุนต่อชุด
- กติกาแบ่งรางวัลเมื่อมีผู้ถูกรางวัลหลายราย
- ภาษีหรือค่าหัก หากโจทย์ต้องการผลลัพธ์สุทธิ
- มูลค่าแจ็กพอตที่อาจเปลี่ยนตามงวด
ถ้าข้อมูลเหล่านี้เปลี่ยน EV ก็เปลี่ยน การหยิบเพียงแจ็กพอตสูงสุดมาหารด้วยโอกาสแจ็กพอตจึงไม่ใช่ Expected Value ของทั้งเกม
EV เป็นค่าระยะยาว ไม่ใช่คำแนะนำตัดสินใจ
การรู้ EV ช่วยอธิบายแบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์ แต่ยังไม่ได้บอกว่าบุคคลหนึ่งควรทำอะไร เพราะการตัดสินใจจริงอาจมีข้อจำกัดเรื่องความเสี่ยง งบประมาณ กฎหมาย และบริบทอื่น
ในเซียนเลข เราใช้ EV เพื่อแยกคำว่า “ค่าเฉลี่ยระยะยาว” ออกจาก “ผลที่ต้องเกิดครั้งหน้า” เท่านั้น
ตัวอย่างที่ EV เป็นค่าซึ่งไม่มีทางเกิด
ถ้าโยนเหรียญยุติธรรมแล้วให้หัว = 1 และก้อย = 0:
EV = 1×0.5 + 0×0.5 = 0.5
แต่ผลการโยนหนึ่งครั้งไม่มีทางเป็น 0.5 เราจะได้ 0 หรือ 1 เท่านั้น ค่า 0.5 เป็นค่าเฉลี่ยระยะยาวของตัวแปรที่นิยามไว้
ตัวอย่างนี้ช่วยเตือนว่า Expected Value กับ outcome เป็นคนละสิ่ง
คำถามที่พบบ่อย
EV เป็นบวก แปลว่าครั้งหน้าจะได้ผลบวกไหม?
ไม่ EV เป็นค่าเฉลี่ยระยะยาวของการแจกแจง ไม่ใช่คำทำนายผลครั้งเดียว
ถ้าผลช่วงแรกต่ำกว่า EV ช่วงต่อไปต้องชดเชยไหม?
ไม่ควรสรุปเช่นนั้น หากการทดลองเป็นอิสระ ผลก่อนหน้าไม่ได้สร้างหนี้ที่รอบถัดไปต้องชำระ
Expected Value กับค่าเฉลี่ยข้อมูลย้อนหลังเหมือนกันไหม?
ไม่จำเป็น Expected Value มาจากแบบจำลองความน่าจะเป็น ส่วนค่าเฉลี่ยย้อนหลังมาจากข้อมูลที่สังเกตได้ ทั้งสองอาจเข้าใกล้กันเมื่อเงื่อนไขเหมาะสมและข้อมูลมากขึ้น แต่เป็นคนละแหล่งข้อมูล