เลขออกซ้ำแปลกจริงไหม? คำนวณโอกาสเลขซ้ำจาก Powerball

เห็นเลขจากงวดก่อนกลับมาอีกหนึ่งตัว หลายคนรู้สึกว่า “ซ้ำเร็วเกินไปหรือเปล่า” แต่ความรู้สึกนี้ต้องแยกจากคำถามทางคณิตศาสตร์ครับ เพราะคำว่า เลขซ้ำ อาจหมายถึงซ้ำหนึ่งตัว ซ้ำหลายตัว หรือซ้ำทั้งชุด ซึ่งมีโอกาสต่างกันมาก

เราจะใช้โครงสร้าง Powerball เป็นตัวอย่าง: เลขหลัก 5 ตัวจาก 69 ตัว และ Powerball 1 ตัวจาก 26 ตัว ตาม กติกา Powerball ทางการ แล้วคำนวณภายใต้สมมติฐานว่าการออกรางวัลแต่ละงวดเป็นอิสระและทุกชุดมีโอกาสเท่ากัน

เริ่มจากกำหนดว่า “ซ้ำ” แบบไหน

สมมติงวดแรกมีเลขหลัก 5 ตัว เราจะถามงวดถัดไปสามแบบ:

1. มีเลขหลักจากงวดก่อนกลับมาอย่างน้อยหนึ่งตัวหรือไม่
2. เลขหลักทั้งห้าตัวเหมือนงวดก่อนทั้งหมดหรือไม่
3. ทั้งเลขหลักห้าตัวและ Powerball เหมือนเดิมครบหรือไม่

ถ้าไม่กำหนดคำถามให้ชัด เราอาจเอาโอกาสของข้อ 3 ซึ่งเล็กมาก ไปใช้กับเหตุการณ์ข้อ 1 ที่เกิดง่ายกว่าหลายล้านเท่า

โอกาสซ้ำอย่างน้อยหนึ่งเลขหลัก

วิธีคำนวณที่ง่ายกว่าคือหาเหตุการณ์ตรงข้ามก่อน: งวดใหม่ไม่ซ้ำเลขหลักเดิมเลย

หลังงวดแรกใช้เลขไป 5 ตัว ยังเหลือเลขที่ไม่อยู่ในงวดก่อน 64 ตัวจากทั้งหมด 69 ตัว จำนวนชุดห้าเลขที่ไม่ซ้ำเลยคือ C(64,5) ส่วนชุดห้าเลขทั้งหมดคือ C(69,5)

ดังนั้น:

P(ไม่ซ้ำเลย) = C(64,5) / C(69,5)

และ:

P(ซ้ำอย่างน้อยหนึ่งตัว) = 1 − C(64,5) / C(69,5)

แทนค่าแล้วได้ประมาณ 0.3215729 หรือ 32.16%

พูดง่าย ๆ ภายใต้แบบจำลองนี้ Powerball สองงวดติดมีโอกาสที่เลขหลักอย่างน้อยหนึ่งตัวจากงวดก่อนจะกลับมาประมาณหนึ่งในสาม ไม่ใช่เหตุการณ์ที่หายากระดับหนึ่งในล้านครับ

ตัวเลข 32.16% เป็นการคำนวณของบทความจากโครงสร้าง 5/69 ไม่ใช่อัตราที่นับจากผลย้อนหลัง และไม่ได้ทำนายว่างวดหน้าจะซ้ำแน่นอน

แล้วการซ้ำครบห้าตัวล่ะ?

ชุดเลขหลัก Powerball มีทั้งหมด:

C(69,5) = 11,238,513 ชุด

เมื่องวดแรกกำหนดชุดหนึ่งไว้แล้ว โอกาสที่งวดถัดไปจะตรงเลขหลักทั้งห้าตัวแบบไม่สนลำดับคือ:

1 / 11,238,513

ถ้าต้องการให้ Powerball สีแดงตรงด้วย ต้องคูณตัวเลือก 26 ค่า จำนวนผลเต็มทั้งหมดจึงเป็น:

C(69,5) × 26 = 292,201,338

โอกาสผลเต็มซ้ำครบคือ 1 ใน 292,201,338

เห็นความต่างไหมครับ “มีเลขหลักซ้ำอย่างน้อยหนึ่งตัว” ประมาณ 32.16% แต่ “ซ้ำครบทั้งผล” คือหนึ่งใน 292 ล้าน สองประโยคนี้ใช้คำว่าเลขซ้ำเหมือนกันแต่พูดถึงคนละเหตุการณ์

ทำไมเลขซ้ำได้ทั้งที่แต่ละงวดเป็นอิสระ?

เหตุการณ์อิสระหมายความว่าผลของงวดก่อน ไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นพื้นฐานของงวดใหม่ ไม่ได้หมายความว่างวดใหม่ต้องหลีกเลี่ยงสิ่งที่เคยเกิด

ลองนึกถึงการโยนเหรียญ ถ้าออกหัวครั้งแรก ครั้งที่สองยังออกหัวได้ ความเป็นอิสระไม่ได้บังคับให้ต้องสลับเป็นก้อย ในทำนองเดียวกัน เลขที่ออกใน Powerball งวดก่อนยังอยู่ในชุดลูก 1–69 ของงวดใหม่

NIST ให้นิยามเหตุการณ์อิสระว่า การเกิดของเหตุการณ์หนึ่งไม่กระทบโอกาสของอีกเหตุการณ์ และเขียนได้เป็น P(A∩B)=P(A)P(B) ตาม Glossary ของ NIST

เลขซ้ำบอกว่าเครื่องสุ่มมีปัญหาไหม?

การพบเลขซ้ำหนึ่งหรือสองงวดไม่พอจะสรุปครับ เพราะแบบจำลองปกติก็อนุญาตให้เกิดซ้ำได้ หากต้องการตรวจความผิดปกติจริง ต้องกำหนดการทดสอบล่วงหน้า ใช้ข้อมูลจำนวนมาก และพิจารณากระบวนการออกรางวัล ไม่ใช่เลือกเหตุการณ์ที่สะดุดตาหลังเห็นผลแล้ว

ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีเลขให้มองหลายสิบแบบ ทั้งเลขซ้ำ เลขเรียง เลขวันเกิด เลขกลับ และผลรวมบางค่า โอกาสพบ “รูปแบบสักอย่าง” จะสูงกว่าการถามถึงรูปแบบเดียวที่กำหนดไว้ก่อนมาก นี่เป็นเหตุผลว่าทำไมภาพที่ดูพิเศษไม่ได้แปลว่าความน่าจะเป็นผิดปกติทันที

ผมคิดว่าประโยคที่ช่วยหยุดการเดาได้ดีคือ “เรากำหนดเหตุการณ์นี้ก่อนหรือหลังเห็นผล?” ถ้ากำหนดหลังเห็นผล เราต้องระวังการเลือกเฉพาะรูปแบบที่เข้าตา

แล้วสถิติเลขออกบ่อยมีประโยชน์ไหม?

สถิติย้อนหลังบอกได้ว่าอดีตเกิดอะไรขึ้น เช่น เลขหนึ่งปรากฏกี่ครั้งในช่วงที่เลือก แต่ภายใต้สมมติฐานการออกรางวัลอิสระ มันไม่ได้เพิ่มหรือลดโอกาสพื้นฐานของเลขนั้นในงวดถัดไป

ช่วงข้อมูลยังทำให้ภาพเปลี่ยนได้ด้วย เลขที่ดูบ่อยใน 20 งวดอาจไม่เด่นเมื่อขยายเป็น 500 งวด จึงควรแสดงช่วงวันที่ จำนวนงวด และแหล่งข้อมูลทุกครั้ง

ถ้าต้องการทบทวนหลัก “เลขไม่ออกนาน” อ่าน เหตุการณ์อิสระกับความรู้สึกว่าถึงคิว ได้ ส่วนวิธีหาจำนวนชุดทั้งหมดอยู่ใน บทคำนวณ Combination ของสลาก

ใช้สูตรกับหวยอื่นได้ไหม?

ได้ถ้าเปลี่ยนโครงสร้างให้ตรงเกม เช่น เกมที่เลือก 5 จาก 50 ต้องแทน 69 ด้วย 50 แต่ถ้ามีเลขพิเศษสองตัวหรือมีกติกาไม่ซ้ำต่างกัน สูตรก็ต้องเปลี่ยน

อย่านำ 32.16% ไปใช้กับหวยไทย เลขสามตัว หรือ EuroMillions โดยตรง เพราะพื้นที่ตัวอย่างไม่เหมือนกันครับ

คำถามที่พบบ่อย

Powerball สองงวดติดมีเลขหลักซ้ำอย่างน้อยหนึ่งตัวประมาณเท่าไร?

ภายใต้โครงสร้าง 5 เลขจาก 69 และสมมติฐานงวดอิสระ คำนวณได้ประมาณ 32.16%

ถ้าเลขเพิ่งออก งวดหน้ามีโอกาสน้อยลงไหม?

ภายใต้โมเดลการสุ่มอิสระไม่ลดลง เลขนั้นยังอยู่ในชุดตัวเลือกของงวดใหม่เหมือนเดิม

เลขหลักซ้ำครบกับผลเต็มซ้ำครบต่างกันอย่างไร?

เลขหลักซ้ำครบไม่สน Powerball มีโอกาส 1 ใน 11,238,513 ส่วนผลเต็มรวม Powerball มีโอกาส 1 ใน 292,201,338