โอกาสถูกรางวัลคำนวณอย่างไร? เข้าใจ Combination ผ่าน Powerball และ EuroMillions

ทำไม Powerball มีโอกาสแจ็กพอต 1 ใน 292,201,338 ทั้งที่เลือกเลขหลักแค่ห้าตัว? คำตอบอยู่ที่การนับ จำนวนชุดที่เป็นไปได้ ครับ ไม่ได้เกิดจากการดูว่าเลขไหนออกบ่อย

บทความนี้จะค่อย ๆ คำนวณจากกติกาจริงของ Powerball และ EuroMillions โดยใช้ Combination หรือการจัดหมู่ ซึ่งนับการเลือกที่ไม่สนลำดับ

Combination คืออะไร?

ถ้าเลือกเลข 5 ตัวจาก 69 ตัว โดยไม่สนว่าหยิบตัวไหนก่อน เราใช้สัญลักษณ์ C(69,5) อ่านว่า “69 เลือก 5”

สูตรคือ:

C(n,k) = n! / [k!(n-k)!]

เครื่องหมาย ! หมายถึงแฟกทอเรียล เช่น 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 แต่เวลาใช้จริงเราไม่ต้องขยายตัวเลขยาวทั้งหมด สามารถตัดส่วนที่ซ้ำกันได้

สำหรับ C(69,5):

(69 × 68 × 67 × 66 × 65) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 11,238,513 ชุด

เหตุผลที่ไม่สนลำดับคือชุด 1, 2, 3, 4, 5 ถือเป็นชุดเดียวกับ 5, 4, 3, 2, 1 ในการตรวจผลเลขหลัก

คำนวณ Powerball ทีละขั้น

กติกา Powerball ทางการ ให้เลือกเลขสีขาว 5 ตัวจาก 1–69 และ Powerball สีแดง 1 ตัวจาก 1–26

เรามีเลขหลักได้ 11,238,513 ชุด และแต่ละชุดจับคู่กับ Powerball ได้ 26 ค่า ดังนั้นจำนวนชุดแจ็กพอตทั้งหมดคือ:

C(69,5) × 26

11,238,513 × 26 = 292,201,338 ชุด

ถ้าทุกชุดมีโอกาสเท่ากัน ตั๋วหนึ่งชุดจึงมีโอกาสตรงแจ็กพอต 1 ใน 292,201,338 ตัวเลขนี้ตรงกับตารางใน กติกา Powerball ของ Colorado Lottery

โอกาสแจ็กพอตไม่ใช่โอกาสได้รางวัลใด ๆ

เอกสาร Colorado ฉบับเดียวกันระบุโอกาสรวมของการได้รางวัลประเภทใดประเภทหนึ่งประมาณ 1 ใน 24.8671 ซึ่งต่างจากแจ็กพอต 1 ใน 292,201,338 มาก

เพราะรางวัลย่อยไม่ต้องตรงครบทุกส่วน เช่น บางระดับอาจตรงเฉพาะ Powerball หรือเลขหลักบางจำนวน ดังนั้นเวลาพบประโยคว่า “โอกาสถูกรางวัล” ต้องถามต่อว่า รางวัลไหน

การใช้ 1 ใน 24.9 ไปเรียกว่าโอกาสแจ็กพอตจะผิด และการใช้ 1 ใน 292 ล้านไปเรียกว่าโอกาสได้รางวัลใด ๆ ก็ผิดเช่นกันครับ

คำนวณ EuroMillions

หน้า EuroMillions ของ Irish National Lottery อธิบายโครงสร้างเลขหลัก 5 ตัวจาก 1–50 และ Lucky Stars 2 ตัวจาก 1–12

เลขหลักมี:

C(50,5) = 2,118,760 ชุด

Lucky Stars มี:

C(12,2) = 66 ชุด

รวมเป็น:

2,118,760 × 66 = 139,838,160 ชุด

ดังนั้นภายใต้โครงสร้างนี้ โอกาสตรงครบ 5 เลขหลักและ 2 Lucky Stars คือ 1 ใน 139,838,160

ตัวเลขนี้เป็นการคำนวณของเราจากกติกาที่อ้าง ไม่ใช่ผลสำรวจหรือสถิติย้อนหลัง และไม่รวมรหัส My Million ของฝรั่งเศสซึ่งเป็นส่วนแยกจากชุดเลข EuroMillions

ทำไมต้องคูณ ไม่ใช่บวก?

Powerball หนึ่งชุดเลขหลักสามารถจับคู่กับ Powerball ได้ทุกค่า 1–26 เราจึงมี 26 ทางเลือกต่อหนึ่งชุดหลัก

ถ้ามีชุดหลัก 11,238,513 แบบ และแต่ละแบบมี 26 ตัวเลือก จำนวนคู่ทั้งหมดคือการคูณ ไม่ใช่การบวก เหมือนมีเสื้อ 3 ตัวกับกางเกง 2 ตัว เราจัดชุดได้ 3 × 2 = 6 แบบ

EuroMillions ก็เหมือนกัน ทุกชุดเลขหลักสามารถจับคู่กับ Lucky Stars 66 ชุด จึงคูณ 2,118,760 ด้วย 66

ซื้อหลายชุด โอกาสเพิ่มอย่างไร?

ถ้าแต่ละชุดไม่ซ้ำกันและอยู่ในการออกรางวัลเดียวกัน โอกาสแจ็กพอตของ Powerball สำหรับ 10 ชุดคือ:

10 / 292,201,338 ≈ 1 ใน 29,220,134

โอกาสเพิ่มเป็นสิบเท่าจากหนึ่งชุดจริง แต่ยังเล็กมาก และต้นทุนก็เพิ่มสิบเท่าด้วย ถ้าซื้อเลขชุดเดิมซ้ำสองใบ โอกาสที่เลขชุดนั้นจะออกไม่ได้เพิ่ม เพราะเหตุการณ์ที่ตรวจยังเป็นชุดเดิม เพียงแต่ยอดรางวัลของตั๋วที่ตรงอาจต่างตามกติกา

ผมคิดว่าการแปลงเป็น “หนึ่งในกี่ชุด” ช่วยให้เห็นสเกลได้ดีกว่าการมองเปอร์เซ็นต์ทศนิยมยาว ๆ แต่ไม่ควรใช้ความรู้สึกว่าเลขใหญ่หรือเล็กแทนการคำนวณจริง

เลขที่เคยออกแล้วมีโอกาสน้อยลงไหม?

ถ้าการออกรางวัลเป็นอิสระและทุกชุดยังมีโอกาสเท่ากัน ประวัติว่าเลขชุดหนึ่งเคยออกไม่ได้ลบชุดนั้นออกจากพื้นที่ตัวอย่างงวดถัดไป เลขเดิมจึงยังเป็นหนึ่งใน 292,201,338 ชุดของ Powerball เช่นเดิม

นี่ไม่ได้พิสูจน์ว่าอุปกรณ์ใดสมบูรณ์แบบ แต่เป็นการอธิบายโมเดลตามกติกา หากต้องการแยกเรื่องเหตุการณ์อิสระ อ่าน เลขไม่ออกนานมีโอกาสมากขึ้นจริงไหม ต่อได้

สิ่งที่สูตรนี้บอกไม่ได้

• บอกไม่ได้ว่าเลขชุดใดจะออกงวดหน้า
• บอกไม่ได้ว่าผลจริงระยะสั้นต้องกระจายสวย
• บอกไม่ได้ว่ารางวัลสุทธิหลังภาษีหรือการแบ่งผู้ถูกรางวัลจะเท่าไร
• ใช้กับเกมอื่นไม่ได้จนกว่าจะเปลี่ยน n และ k ให้ตรงกติกา
• ใช้โครงสร้างเก่าไม่ได้หากเกมเปลี่ยนจำนวนลูกหรือจำนวนที่เลือก

ดังนั้นทุกครั้งที่คำนวณ ควรบันทึกชื่อเกม รุ่นกติกา และวันที่ตรวจแหล่งข้อมูลไว้ด้วย

คำถามที่พบบ่อย

ทำไมการเรียงเลขไม่เพิ่มจำนวนชุด?

เพราะการตรวจเลขหลักของเกมเหล่านี้ไม่สนลำดับการเลือก ชุด 1–2–3–4–5 จึงเหมือนกับ 5–4–3–2–1

Powerball 1 ใน 292 ล้านคือโอกาสได้รางวัลทุกประเภทไหม?

ไม่ใช่ เป็นโอกาสแจ็กพอตจากการตรงเลขหลัก 5 ตัวและ Powerball ส่วนโอกาสรวมของรางวัลทุกประเภทเป็นตัวเลขอีกชุดหนึ่ง

ใช้เลขออกบ่อยมาลดจำนวน Combination ได้ไหม?

ไม่ได้ กติกายังเปิดให้ทุกเลขในช่วงที่กำหนด การตัดชุดตามสถิติย้อนหลังเป็นการตั้งเงื่อนไขของเราเอง ไม่ได้เปลี่ยนจำนวนผลที่เครื่องสามารถออกได้